Giải tích sơ cấp Ví dụ

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

Bước 1

Trừ $247$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

Bước 2

Chia cả hai vế của phương trình cho $16$ .

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Bước 3

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Bước 3.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Bước 3.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Bước 3.4.2.2

Trừ $\frac{25}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Bước 3.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Bước 4

Thay ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ cho $x^{2} + 5 x$ trong phương trình $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Bước 5

Di chuyển $- \frac{25}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{4}$ vào cả hai vế.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Bước 6

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 7 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

Bước 6.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 6.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

Bước 6.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{7}{2}$

Bước 6.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

Bước 6.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

Bước 6.4.2.2

Trừ $\frac{49}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

Bước 6.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Bước 7

Thay ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ cho $y^{2} - 7 y$ trong phương trình $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Bước 8

Di chuyển $- \frac{49}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{49}{4}$ vào cả hai vế.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

Bước 9

Rút gọn $- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

Bước 9.1.2

Cộng $25$ và $49$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $74$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $74$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Bước 9.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Bước 9.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

Bước 9.3

Để viết $\frac{37}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

Bước 9.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $\frac{37}{2}$ với $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

Bước 9.4.2

Nhân $2$ với $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

Bước 9.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

Bước 9.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Nhân $37$ với $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

Bước 9.6.2

Cộng $- 247$ và $296$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

Bước 10

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 11

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

Bước 12

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Bước 13

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Bán kính: $\frac{7}{4}$

Bước 14