Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{144} = 1$

Bước 1

Cộng $\frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$

Bước 2

Rút gọn $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144}{144} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$

Bước 2.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + {(x - 3)}^{2}}{144}$

Bước 2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại ${(x - 3)}^{2}$ ở dạng $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + (x - 3) (x - 3)}{144}$

Bước 2.2.2

Khai triển $(x - 3) (x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{144}$

Bước 2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{144}$

Bước 2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

Bước 2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

Bước 2.2.3.1.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

Bước 2.2.3.1.3

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{144}$

Bước 2.2.3.2

Trừ $3 x$ khỏi $- 3 x$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 6 x + 9}{144}$

Bước 2.2.4

Cộng $144$ và $9$ .

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Bước 3

Nhân cả hai vế của phương trình với $81$ .

$81 \frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Bước 4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$81 \frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Bước 4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

${(y - 8)}^{2} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Bước 4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Đưa $9$ ra ngoài $81$ .

${(y - 8)}^{2} = 9 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Bước 4.2.1.1.2

Đưa $9$ ra ngoài $144$ .

${(y - 8)}^{2} = 9 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{9 \cdot 16}$

Bước 4.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y - 8)}^{2} = 9 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{9 \cdot 16}$

Bước 4.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{16}$

Bước 4.2.1.2

Kết hợp $9$ và $\frac{x^{2} - 6 x + 153}{16}$ .

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}$

Bước 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$

Bước 6

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}$ ở dạng ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 153)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9 (x^{2} - 6 x + 153)$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$

Bước 6.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $4^{2}$ ra ngoài $16$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{4^{2} \cdot 1}}$

Bước 6.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}$

Bước 6.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $\sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$ .

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

Bước 7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

Bước 7.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

Bước 7.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

Bước 7.4

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

Bước 7.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

Bước 8

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} - 6 x + 153 \geq 0$

Bước 9

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} - 6 x + 153 = 0$

Bước 9.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 9.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 6$ , và $c = 153$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 153)}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $153$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.3

Trừ $612$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.4

Viết lại $- 576$ ở dạng $- 1 (576)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (576)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.7

Viết lại $576$ ở dạng $24^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.1.9

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

Bước 9.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

Bước 9.4.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 12 i$

Bước 9.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $153$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.3

Trừ $612$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.4

Viết lại $- 576$ ở dạng $- 1 (576)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (576)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.7

Viết lại $576$ ở dạng $24^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.1.9

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

Bước 9.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

Bước 9.5.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 12 i$

Bước 9.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 3 + 12 i$

Bước 9.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $153$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.3

Trừ $612$ khỏi $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.4

Viết lại $- 576$ ở dạng $- 1 (576)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (576)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.7

Viết lại $576$ ở dạng $24^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.1.9

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

Bước 9.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

Bước 9.6.3

Rút gọn $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 12 i$

Bước 9.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 3 - 12 i$

Bước 9.7

Xác định hệ số của số hạng cao nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Số hạng cao nhất trong một đa thức là số hạng với bậc cao nhất.

$x^{2}$

Bước 9.7.2

Hệ số cao nhất trong một đa thức là hệ số của số hạng cao nhất.

$1$

Bước 9.8

Vì không có hoành độ gốc thực sự nào và hệ số của số hạng cao nhất dương, nên parabol quay mặt lõm lên trên và $x^{2} - 6 x + 153$ luôn lớn hơn $0$ .

Tất cả các số thực

Bước 10

Tập xác định là tất cả các số thực.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 11

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1] \cup [17, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \leq - 1, y \geq 17}$

Bước 12

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, - 1] \cup [17, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 17}$

Bước 13