Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $100$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- 4 x^{2} + 40 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $40$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{20}{- 4}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$d = - 5$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $40$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $1600$ cho $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $0$ và $100$ .

$e = 100$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Bước 1.3

Thay $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ cho $- 4 x^{2} + 40 x$ trong phương trình $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Bước 1.4

Di chuyển $100$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $100$ vào cả hai vế.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $25 y^{2} - 100 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 100$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 50}{25}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 50$ và $25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $25$ ra ngoài $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.2.1

Đưa $25$ ra ngoài $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Bước 1.5.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 1.5.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $- 100$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $10000$ cho $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $100$ .

$e = 0 - 100$

Bước 1.5.4.2.2

Trừ $100$ khỏi $0$ .

$e = - 100$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Bước 1.6

Thay $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ cho $25 y^{2} - 100 y$ trong phương trình $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Bước 1.7

Di chuyển $- 100$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $100$ vào cả hai vế.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Bước 1.8

Rút gọn $- 100 - 100 + 100$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Trừ $100$ khỏi $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Bước 1.8.2

Cộng $- 200$ và $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Bước 1.9

Đổi dấu mỗi số hạng của phương trình để cho số hạng ở vế phải dương.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Bước 1.10

Chia mỗi số hạng cho $100$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Bước 1.11

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Bước 4

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ vì hyperbol này quay mặt lõm sang trái và sang phải.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Bước 5

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Bước 5.2.1.3

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Bước 5.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Bước 5.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Bước 5.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Bước 5.2.1.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Bước 5.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $- 2$ và $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Bước 5.2.2.2

Cộng $\frac{2 x}{5}$ và $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Bước 6

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Bước 6.2

Rút gọn $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Bước 6.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Bước 6.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Bước 6.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{5}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Bước 6.2.1.4.2

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Bước 6.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Bước 6.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Bước 6.2.1.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Bước 6.2.1.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Bước 6.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Bước 7

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Bước 8

Các tiệm cận là $y = \frac{2 x}{5}$ và $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Các đường tiệm cận: $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Bước 9