Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} - y^{2} = 9$

Bước 1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- y^{2} = 9 - x^{2}$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $- y^{2} = 9 - x^{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $- y^{2} = 9 - x^{2}$ cho $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 2.2.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{9}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia $9$ cho $- 1$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Bước 2.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y^{2} = - 9 + \frac{x^{2}}{1}$

Bước 2.3.1.3

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = - 9 + x^{2}$

Bước 3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- 9 + x^{2}}$

Bước 4

Rút gọn $\pm \sqrt{- 9 + x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + x^{2}}$

Bước 4.1.2

Sắp xếp lại $- 3^{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

Bước 4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Bước 5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Bước 5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Bước 5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

$y = - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

$y = \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

$y = - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Bước 6

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

Bước 7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 7.2

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 7.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 7.3

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 7.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 7.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ đúng.

$x = - 3, 3$

Bước 7.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Bước 7.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 7.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

Bước 7.6.1.3

Vế trái $27$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 7.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 7.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

Bước 7.6.2.3

Vế trái $- 9$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 7.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 7.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

Bước 7.6.3.3

Vế trái $27$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 7.6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 3$ Sai

$x > 3$ Đúng

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 3$ Sai

$x > 3$ Đúng

Bước 7.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 3$ hoặc $x \geq 3$

Bước 8

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Bước 9

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${y | y \in ℝ}$

Bước 10

Xác định tập xác định và khoảng biến thiên.

Tập xác định: $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty), {x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Khoảng biến thiên: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Bước 11