Giải tích sơ cấp Ví dụ

$z^{3} - 1 = 0$

Bước 1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$z^{3} = 1$

Bước 2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z^{3} - 1 = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Bước 3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = z$ và $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $z$ với $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Bước 3.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Bước 5

Đặt $z - 1$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $z - 1$ bằng với $0$ .

$z - 1 = 0$

Bước 5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$z = 1$

Bước 6

Đặt $z^{2} + z + 1$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $z^{2} + z + 1$ bằng với $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $z^{2} + z + 1 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ đúng.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$