Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(\cos (\frac{2 π}{7}) + i \sin (\frac{2 π}{7}))}^{5}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính $\cos (\frac{2 π}{7})$ .

${(0.6234898 + i \sin (\frac{2 π}{7}))}^{5}$

Bước 1.2

Tính $\sin (\frac{2 π}{7})$ .

${(0.6234898 + i \cdot 0.78183148)}^{5}$

Bước 1.3

Di chuyển $0.78183148$ sang phía bên trái của $i$ .

${(0.6234898 + 0.78183148 i)}^{5}$

Bước 2

Sử dụng định lý nhị thức.

${0.6234898}^{5} + 5 \cdot {0.6234898}^{4} (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $0.6234898$ lên lũy thừa $5$ .

$0.09422079 + 5 \cdot {0.6234898}^{4} (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.2

Nâng $0.6234898$ lên lũy thừa $4$ .

$0.09422079 + 5 \cdot 0.15111842 (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.3

Nhân $5$ với $0.15111842$ .

$0.09422079 + 0.75559212 (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.4

Nhân $0.78183148$ với $0.75559212$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.5

Nâng $0.6234898$ lên lũy thừa $3$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 10 \cdot 0.24237513 {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.6

Nhân $10$ với $0.24237513$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 ({0.78183148}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.8

Nâng $0.78183148$ lên lũy thừa $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 (0.61126046 i^{2}) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.9

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 (0.61126046 \cdot - 1) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.10

Nhân $2.42375134 (0.61126046 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1

Nhân $0.61126046$ với $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 \cdot - 0.61126046 + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.10.2

Nhân $2.42375134$ với $- 0.61126046$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.11

Nâng $0.6234898$ lên lũy thừa $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 10 \cdot 0.38873953 {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.12

Nhân $10$ với $0.38873953$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.13

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 ({0.78183148}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.14

Nâng $0.78183148$ lên lũy thừa $3$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 i^{3}) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.15

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.16

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.17

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (- i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.18

Nhân $- 1$ với $0.47790267$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (- 0.47790267 i) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.19

Nhân $- 0.47790267$ với $3.88739533$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.20

Nhân $5$ với $0.6234898$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.21

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 ({0.78183148}^{4} i^{4}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.22

Nâng $0.78183148$ lên lũy thừa $4$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 i^{4}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.23

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.23.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 {(i^{2})}^{2}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.23.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 {(- 1)}^{2}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.23.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 \cdot 1) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.24

Nhân $3.117449 (0.37363935 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.24.1

Nhân $0.37363935$ với $1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 \cdot 0.37363935 + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.24.2

Nhân $3.117449$ với $0.37363935$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + {(0.78183148 i)}^{5}$

Bước 3.1.25

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + {0.78183148}^{5} i^{5}$

Bước 3.1.26

Nâng $0.78183148$ lên lũy thừa $5$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i^{5}$

Bước 3.1.27

Đưa $i^{4}$ ra ngoài.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 (i^{4} i)$

Bước 3.1.28

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.28.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 ({(i^{2})}^{2} i)$

Bước 3.1.28.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 ({(- 1)}^{2} i)$

Bước 3.1.28.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 (1 i)$

Bước 3.1.29

Nhân $i$ với $1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i$

Bước 3.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1.48154337$ khỏi $0.09422079$ .

$- 1.38732258 + 0.5907457 i - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i$

Bước 3.2.2

Cộng $- 1.38732258$ và $1.16480164$ .

$- 0.22252093 + 0.5907457 i - 1.85779663 i + 0.29212301 i$

Bước 3.2.3

Trừ $1.85779663 i$ khỏi $0.5907457 i$ .

$- 0.22252093 - 1.26705092 i + 0.29212301 i$

Bước 3.2.4

Cộng $- 1.26705092 i$ và $0.29212301 i$ .

$- 0.22252093 - 0.97492791 i$

Bước 4

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 5

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 6

Thay các giá trị thực tế của $a = - 0.22252093$ và $b = - 0.97492791$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.97492791)}^{2} + {(- 0.22252093)}^{2}}$

Bước 7

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $- 0.97492791$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0.95048443 + {(- 0.22252093)}^{2}}$

Bước 7.2

Nâng $- 0.22252093$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{0.95048443 + 0.04951556}$

Bước 7.3

Cộng $0.95048443$ và $0.04951556$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Bước 7.4

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Bước 7.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 1$

Bước 8

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{- 0.97492791}{- 0.22252093})$

Bước 9

Vì tang nghịch đảo của $\frac{- 0.97492791}{- 0.22252093}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ ba, giá trị của góc là $\frac{10 π}{7}$ .

$θ = \frac{10 π}{7}$

Bước 10

Thay các giá trị của $θ = \frac{10 π}{7}$ và $| z | = 1$ .

$1 (\cos (\frac{10 π}{7}) + i \sin (\frac{10 π}{7}))$