Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (5 x + 1)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \ln (5 y + 1)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\ln (5 y + 1) = x$ .

$\ln (5 y + 1) = x$

Bước 2.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (5 y + 1)} = e^{x}$

Bước 2.3

Viết lại $\ln (5 y + 1) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y + 1$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 y + 1 = e^{x}$ .

$5 y + 1 = e^{x}$

Bước 2.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 y = e^{x} - 1$

Bước 2.4.3

Chia mỗi số hạng trong $5 y = e^{x} - 1$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $5 y = e^{x} - 1$ cho $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Bước 2.4.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Bước 2.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ có là hàm ngược của $f (x) = \ln (5 x + 1)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\ln (5 x + 1))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)}}{5} - \frac{1}{5}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)} - 1}{5}$

Bước 4.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 1 - 1}{5}$

Bước 4.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $5 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

Bước 4.2.5.2

Cộng $5 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Bước 4.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Bước 4.2.6.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) + 1)$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Bước 4.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Bước 4.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{5}$ vào tử số.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Bước 4.3.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Bước 4.3.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} - 1 + 1)$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $e^{x} - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

Bước 4.3.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

Bước 4.3.5

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

Bước 4.3.6

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

Bước 4.3.7

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ là hàm ngược của $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$