Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Bước 2

Phân tích $x^{2} + x - 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 12$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 3, 4$

Bước 2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Bước 4

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 5

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 3) (x + 4) = 0$ đúng.

$x = 3, - 4$

Bước 7

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Bước 7.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 7.3

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Bước 7.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 8

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 9

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 10

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Bước 11

Hợp nhất các đáp án.

$x = 3, - 4, 2$

Bước 12

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Bước 12.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Bước 12.2.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 12.2.1.3

Viết lại đa thức này.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Bước 12.2.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 12.2.2

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 12.2.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 12.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 13

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Bước 14

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 14.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Bước 14.1.3

Vế trái $0.28125$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 14.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 14.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Bước 14.2.3

Vế trái $- 3$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2.5$

Bước 14.3.2

Thay thế $x$ bằng $2.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Bước 14.3.3

Vế trái $- 13$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 14.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Bước 14.4.3

Vế trái $1.875$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 14.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < 2$ Sai

$2 < x < 3$ Sai

$x > 3$ Đúng

$x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < 2$ Sai

$2 < x < 3$ Sai

$x > 3$ Đúng

Bước 15

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 4$ hoặc $x > 3$

Bước 16

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Bước 17