Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Bước 1

Nhân chéo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân chéo bằng cách đặt tích của tử số ở vế phải và mẫu số ở vế trái bằng với tích của tử số ở vế trái và mẫu số ở vế phải.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Bước 1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $0$ với $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Bước 1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 1.3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 2

Viết lại để $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ nằm ở vế trái của bất đẳng thức.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Bước 3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 4

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ ở dạng ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.2

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Bước 4.2.1.4

Rút gọn.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} \leq 1$

Bước 5.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Bước 5.3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$| x | \leq 1$

Bước 5.4

Viết $| x | \leq 1$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 5.4.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 1$

Bước 5.4.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 5.4.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 1$

Bước 5.4.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Bước 5.5

Tìm phần giao của $x \leq 1$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Bước 5.6

Giải $- x \leq 1$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 1$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Bước 5.6.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Bước 5.6.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Bước 5.6.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x \geq - 1$

Bước 5.6.2

Tìm phần giao của $x \geq - 1$ và $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Bước 5.7

Tìm hợp của các đáp án.

$- 1 \leq x \leq 1$

Bước 6

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$[- 1, 1]$

Bước 7