Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x = y^{2} - 4 y$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Bước 2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Bước 3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = - x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.3

Viết lại $- 4 (- 4 - x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.3.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Bước 5.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Bước 6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.3

Viết lại $- 4 (- 4 - x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.3.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Bước 6.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Bước 6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Bước 7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.3

Viết lại $- 4 (- 4 - x)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.3.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Bước 7.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Bước 7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Bước 8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Bước 9

Đổi các biến với nhau. Tạo một phương trình cho từng biểu thức.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Bước 10

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Bước 10.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ ở dạng ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1

Rút gọn ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.4

Nhân $- 1 (- y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.4.2

Nhân $y$ với $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.2.1.5

Rút gọn.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Bước 10.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Rút gọn ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1.1

Viết lại ${(x - 2)}^{2}$ ở dạng $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Bước 10.4.3.1.2

Khai triển $(x - 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Bước 10.4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Bước 10.4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Bước 10.4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Bước 10.4.3.1.3.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Bước 10.4.3.1.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Bước 10.4.3.1.3.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Bước 10.5

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Bước 10.5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.2.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Bước 10.5.2.2

Cộng $x^{2} - 4 x$ và $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Bước 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Bước 12

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ và $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ rồi so sánh.

Bước 12.2

Tìm miền giá trị của $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tìm miền giá trị của $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[2, \infty)$

Bước 12.2.2

Tìm miền giá trị của $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2]$

Bước 12.2.3

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Phần hợp bao gồm tất cả các phần tử được chứa trong mỗi khoảng.

$(- \infty, \infty)$

Bước 12.3

Tìm tập xác định của $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Bước 12.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 12.3.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 12.3.2.1.2.2

Chia $- 4 - x$ cho $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Bước 12.3.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Bước 12.3.2.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x \leq 4$

Bước 12.3.2.3

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 4$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 4$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Bước 12.3.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Bước 12.3.2.3.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Bước 12.3.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.3.3.1

Chia $4$ cho $- 1$ .

$x \geq - 4$

Bước 12.3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[- 4, \infty)$

Bước 12.4

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ là khoảng biến thiên của $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ là tập xác định của $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , nên $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ là hàm ngược của $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Bước 13