Giải tích sơ cấp Ví dụ

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Bước 1

Cộng $37$ cho cả hai vế của phương trình.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $12 x^{2} - 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 6}{12}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 12)}^{2}$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1.1

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Bước 2.4.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Bước 2.4.2.1.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Bước 2.4.2.1.1.4

Nhân $12^{2}$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Bước 2.4.2.1.1.5

Đưa $12$ ra ngoài $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Bước 2.4.2.1.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1.6.1

Đưa $12$ ra ngoài $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Bước 2.4.2.1.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Bước 2.4.2.1.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Bước 2.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Bước 2.4.2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Bước 2.4.2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Bước 2.4.2.1.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Bước 2.4.2.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$e = 0 - 3$

Bước 2.4.2.2

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$e = - 3$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Bước 3

Thay $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ cho $12 x^{2} - 12 x$ trong phương trình $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Bước 4

Di chuyển $- 3$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $3$ vào cả hai vế.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $20 y^{2} + 40 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $40$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{20}{20}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{20}{20}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $40$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $1600$ cho $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $20$ .

$e = 0 - 20$

Bước 5.4.2.2

Trừ $20$ khỏi $0$ .

$e = - 20$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Bước 6

Thay $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ cho $20 y^{2} + 40 y$ trong phương trình $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Bước 7

Di chuyển $- 20$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $20$ vào cả hai vế.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Bước 8

Rút gọn $37 + 3 + 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $37$ và $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Bước 8.2

Cộng $40$ và $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $60$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Bước 11

Đây là dạng của một hình elip. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm tâm cùng với trục lớn và trục nhỏ của hình elip.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 12

Tương ứng các giá trị trong elip này với dạng chính tắc. Biến $a$ là bán kính của trục chính của elip, $b$ là bán kính của trục phụ của elip, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Bước 13

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Bước 14

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.1.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.2

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.2.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.1.4

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.2

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Bước 15.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 15.3.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Bước 15.3.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Bước 15.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 15.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 15.3.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 15.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 15.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 15.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 15.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Bước 15.3.6.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Bước 15.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Bước 15.4.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Dạng thập phân:

$0.63245553 \dots$

Bước 17