Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.2.2

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) \cdot 1$

Bước 1.3.5

Nhân $\cos (2 x)$ với $1$ .

$\cos (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 2.2.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\cos (2 x) = 0$

Bước 4

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x = \arccos (0)$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 6.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 6.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 7

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 8.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 8.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 8.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 8.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 8.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 8.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 8.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 9

Đáp án của phương trình $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Bước 11.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 11.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 11.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 11.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 12

$x = \frac{π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Bước 13.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Bước 13.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Bước 13.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 13.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Bước 13.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Bước 15.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Bước 15.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 15.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 15.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Bước 15.4

Nhân $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Bước 15.4.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2$

Bước 16

$x = \frac{3 π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{3 π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 17

Tìm giá trị y khi $x = \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Bước 17.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Bước 17.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Bước 17.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 17.2.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 17.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Bước 17.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

Bước 17.2.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

Bước 17.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Bước 17.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Bước 18

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 19