Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

Bước 1

Áp dụng đẳng thức cộng của góc $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.2

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Do đó, $\cos (\arcsin (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.5

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Do đó, $\sin (\arccos (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.7

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

Bước 2.1.8

Hàm sin và arcsin là nghịch đảo.

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

Bước 2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ và $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ .

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 2.2.2

Trừ $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ khỏi $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$0$