Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y - 1 = 0$

Bước 1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 10 x - 18 y = 1$

Bước 2

Chia cả hai vế của phương trình cho $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$

Bước 3

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Bước 3.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Bước 3.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{5}{2}$

Bước 3.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Bước 3.4.2.2

Trừ $\frac{25}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Bước 3.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Bước 4

Thay ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ cho $x^{2} - 5 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2}$

Bước 5

Di chuyển $- \frac{25}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{4}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 9 y = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Bước 6

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 9 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 9$

$c = 0$

Bước 6.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 6.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 1}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$d = \frac{- 9}{2}$

Bước 6.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{9}{2}$

Bước 6.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

Bước 6.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{81}{4}$

Bước 6.4.2.2

Trừ $\frac{81}{4}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{81}{4}$

Bước 6.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ .

${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$

Bước 7

Thay ${(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4}$ cho $y^{2} - 9 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 5 x - 9 y = \frac{1}{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} - \frac{81}{4} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4}$

Bước 8

Di chuyển $- \frac{81}{4}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{81}{4}$ vào cả hai vế.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$

Bước 9

Rút gọn $\frac{1}{2} + \frac{25}{4} + \frac{81}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{25 + 81}{4}$

Bước 9.2

Cộng $25$ và $81$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{106}{4}$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung của $106$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $106$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 (53)}{4}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 53}{2 \cdot 2}$

Bước 9.3.2.3

Viết lại biểu thức.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{53}{2}$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{1 + 53}{2}$

Bước 9.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Cộng $1$ và $53$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = \frac{54}{2}$

Bước 9.5.2

Chia $54$ cho $2$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{9}{2})}^{2} = 27$