Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(2 x + 5 y)}^{5}$

Bước 1

Tam giác Pascal có thể được hiển thị như thế này:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Tam giác có thể được sử dụng để tính các hệ số của việc khai triển ${(a + b)}^{n}$ bằng cách lấy số mũ $n$ và cộng $1$ . Các hệ số sẽ tương ứng với đường thẳng $n + 1$ của tam giác. Đối với ${(2 x + 5 y)}^{5}$ , $n = 5$ , vì vậy các hệ số của việc khai triển sẽ tương ứng với đường thẳng $6$ .

Bước 2

Việc khai triển tuân theo quy tắc ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Các giá trị của các hệ số, từ tam giác, là $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a$ $2 x$ và $b$ $5 y$ vào biểu thức.

$1 {(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân ${(2 x)}^{5}$ với $1$ .

${(2 x)}^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$2^{5} x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$32 x^{5} {(5 y)}^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 y$ .

$32 x^{5} (5^{0} y^{0}) + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$32 \cdot 5^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$32 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.7

Nhân $32$ với $1$ .

$32 x^{5} y^{0} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$32 x^{5} \cdot 1 + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.9

Nhân $32$ với $1$ .

$32 x^{5} + 5 {(2 x)}^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$32 x^{5} + 5 (2^{4} x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$32 x^{5} + 5 (16 x^{4}) {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.12

Nhân $16$ với $5$ .

$32 x^{5} + 80 x^{4} {(5 y)}^{1} + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.13

Rút gọn.

$32 x^{5} + 80 x^{4} (5 y) + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.14

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$32 x^{5} + 80 \cdot 5 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.15

Nhân $80$ với $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 {(2 x)}^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.16

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (2^{3} x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.17

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 10 (8 x^{3}) {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.18

Nhân $8$ với $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} {(5 y)}^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.19

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 x^{3} (5^{2} y^{2}) + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.20

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 5^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.21

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 80 \cdot 25 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.22

Nhân $80$ với $25$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 {(2 x)}^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.23

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (2^{2} x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.24

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 10 (4 x^{2}) {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.25

Nhân $4$ với $10$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} {(5 y)}^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.26

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 x^{2} (5^{3} y^{3}) + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.27

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 5^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.28

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 40 \cdot 125 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.29

Nhân $40$ với $125$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 {(2 x)}^{1} {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.30

Rút gọn.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 5 (2 x) {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.31

Nhân $2$ với $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x {(5 y)}^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.32

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 x (5^{4} y^{4}) + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.33

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 5^{4} x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.34

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 10 \cdot 625 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.35

Nhân $10$ với $625$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.36

Nhân ${(2 x)}^{0}$ với $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(2 x)}^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.37

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 2^{0} x^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.38

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 x^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.39

Nhân $x^{0}$ với $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + x^{0} {(5 y)}^{5}$

Bước 4.40

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 1 {(5 y)}^{5}$

Bước 4.41

Nhân ${(5 y)}^{5}$ với $1$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + {(5 y)}^{5}$

Bước 4.42

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 y$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 5^{5} y^{5}$

Bước 4.43

Nâng $5$ lên lũy thừa $5$ .

$32 x^{5} + 400 x^{4} y + 2000 x^{3} y^{2} + 5000 x^{2} y^{3} + 6250 x y^{4} + 3125 y^{5}$