Giải tích sơ cấp Ví dụ

$2 x^{3} - 32 x < x^{2} - 16$

Bước 1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} < - 16$

Bước 2

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} = - 16$

Bước 3

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x^{3} - 32 x - x^{2} + 16 = 0$

Bước 4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{3} - x^{2} - 32 x + 16 = 0$

Bước 4.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 32 x + 16 = 0$

Bước 4.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x^{2} (2 x - 1) - 16 (2 x - 1) = 0$

Bước 4.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 16) = 0$

Bước 4.4

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Bước 4.5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Bước 4.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 6

Đặt $2 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $2 x - 1$ bằng với $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $2 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 7

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 7.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 8

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 8.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 9

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 x - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{2}, - 4, 4$

Bước 10

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Bước 11

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 11.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 {(- 6)}^{3} - 32 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 16$

Bước 11.1.3

Vế trái $- 240$ nhỏ hơn vế phải $20$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 11.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < \frac{1}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < \frac{1}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 11.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 {(0)}^{3} - 32 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 16$

Bước 11.2.3

Vế trái $0$ không nhỏ hơn vế phải $- 16$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 11.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $\frac{1}{2} < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $\frac{1}{2} < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 11.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 {(2)}^{3} - 32 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 16$

Bước 11.3.3

Vế trái $- 48$ nhỏ hơn vế phải $- 12$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 11.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 11.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$2 {(6)}^{3} - 32 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 16$

Bước 11.4.3

Vế trái $240$ không nhỏ hơn vế phải $20$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 11.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ Sai

$\frac{1}{2} < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < \frac{1}{2}$ Sai

$\frac{1}{2} < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 12

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 4$ hoặc $\frac{1}{2} < x < 4$

Bước 13

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{1}{2}, 4)$

Bước 14