Giải tích sơ cấp Ví dụ

$[\begin{array}{c} 12 & 23 & - 6 \\ 11 & - 8 & 13 \\ 7 & 21 & 15 \end{array}]$

Bước 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Bước 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 13 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Bước 2.1.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 8 \cdot 15 - 21 \cdot 13$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Nhân $- 8$ với $15$ .

$a_{11} = - 120 - 21 \cdot 13$

Bước 2.1.2.2.1.2

Nhân $- 21$ với $13$ .

$a_{11} = - 120 - 273$

Bước 2.1.2.2.2

Trừ $273$ khỏi $- 120$ .

$a_{11} = - 393$

Bước 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & 13 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Bước 2.2.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 11 \cdot 15 - 7 \cdot 13$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1.1

Nhân $11$ với $15$ .

$a_{12} = 165 - 7 \cdot 13$

Bước 2.2.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $13$ .

$a_{12} = 165 - 91$

Bước 2.2.2.2.2

Trừ $91$ khỏi $165$ .

$a_{12} = 74$

Bước 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 & - 8 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Bước 2.3.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 11 \cdot 21 - 7 \cdot - 8$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Nhân $11$ với $21$ .

$a_{13} = 231 - 7 \cdot - 8$

Bước 2.3.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $- 8$ .

$a_{13} = 231 + 56$

Bước 2.3.2.2.2

Cộng $231$ và $56$ .

$a_{13} = 287$

Bước 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ 21 & 15 \end{array} |$

Bước 2.4.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 23 \cdot 15 - 21 \cdot - 6$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Nhân $23$ với $15$ .

$a_{21} = 345 - 21 \cdot - 6$

Bước 2.4.2.2.1.2

Nhân $- 21$ với $- 6$ .

$a_{21} = 345 + 126$

Bước 2.4.2.2.2

Cộng $345$ và $126$ .

$a_{21} = 471$

Bước 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 7 & 15 \end{array} |$

Bước 2.5.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 12 \cdot 15 - 7 \cdot - 6$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1.1

Nhân $12$ với $15$ .

$a_{22} = 180 - 7 \cdot - 6$

Bước 2.5.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $- 6$ .

$a_{22} = 180 + 42$

Bước 2.5.2.2.2

Cộng $180$ và $42$ .

$a_{22} = 222$

Bước 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 7 & 21 \end{array} |$

Bước 2.6.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 12 \cdot 21 - 7 \cdot 23$

Bước 2.6.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.1

Nhân $12$ với $21$ .

$a_{23} = 252 - 7 \cdot 23$

Bước 2.6.2.2.1.2

Nhân $- 7$ với $23$ .

$a_{23} = 252 - 161$

Bước 2.6.2.2.2

Trừ $161$ khỏi $252$ .

$a_{23} = 91$

Bước 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 23 & - 6 \\ - 8 & 13 \end{array} |$

Bước 2.7.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 23 \cdot 13 - (- 8 \cdot - 6)$

Bước 2.7.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1.1

Nhân $23$ với $13$ .

$a_{31} = 299 - (- 8 \cdot - 6)$

Bước 2.7.2.2.1.2

Nhân $- (- 8 \cdot - 6)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.2.1.2.1

Nhân $- 8$ với $- 6$ .

$a_{31} = 299 - 1 \cdot 48$

Bước 2.7.2.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $48$ .

$a_{31} = 299 - 48$

Bước 2.7.2.2.2

Trừ $48$ khỏi $299$ .

$a_{31} = 251$

Bước 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & - 6 \\ 11 & 13 \end{array} |$

Bước 2.8.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 12 \cdot 13 - 11 \cdot - 6$

Bước 2.8.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.2.1.1

Nhân $12$ với $13$ .

$a_{32} = 156 - 11 \cdot - 6$

Bước 2.8.2.2.1.2

Nhân $- 11$ với $- 6$ .

$a_{32} = 156 + 66$

Bước 2.8.2.2.2

Cộng $156$ và $66$ .

$a_{32} = 222$

Bước 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 12 & 23 \\ 11 & - 8 \end{array} |$

Bước 2.9.2

Evaluate the determinant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 12 \cdot - 8 - 11 \cdot 23$

Bước 2.9.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.2.2.1.1

Nhân $12$ với $- 8$ .

$a_{33} = - 96 - 11 \cdot 23$

Bước 2.9.2.2.1.2

Nhân $- 11$ với $23$ .

$a_{33} = - 96 - 253$

Bước 2.9.2.2.2

Trừ $253$ khỏi $- 96$ .

$a_{33} = - 349$

Bước 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 393 & - 74 & 287 \\ - 471 & 222 & - 91 \\ 251 & - 222 & - 349 \end{array}]$