Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{6} 12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân hữu hạn có thể được xác định bằng cách dùng công thức $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ với $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{12 {(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{12 {(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}$ và ${(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ ra ngoài ${(\frac{5}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{5}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $i$ và $0$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - (i - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - i - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{i - i + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $i$ khỏi $i$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{5}{6})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = \frac{5}{6}$

Bước 3

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ cho $i$ vào $12 {(\frac{5}{6})}^{i - 1}$ .

$a = 12 {(\frac{5}{6})}^{1 - 1}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = 12 {(\frac{5}{6})}^{0}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{6}$ .

$a = 12 \frac{5^{0}}{6^{0}}$

Bước 3.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 12 \frac{1}{6^{0}}$

Bước 3.2.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Bước 3.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$a = 12 \cdot 1$

Bước 3.2.6

Nhân $12$ với $1$ .

$a = 12$

Bước 4

Thế giá trị của công bội, số hạng đầu, và số các số hạng vào công thức tính tổng.

$12 \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}}$ với $\frac{6}{6}$ .

$12 (\frac{6}{6} \cdot \frac{1 - {(\frac{5}{6})}^{6}}{1 - \frac{5}{6}})$

Bước 5.1.2

Kết hợp.

$12 \frac{6 (1 - {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 (1 - \frac{5}{6})}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (- \frac{5}{6})}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{6}$ vào tử số.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 5}{6})}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 + 6 (\frac{- 5}{6})}$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$12 \frac{6 \cdot 1 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $6$ với $1$ .

$12 \frac{6 + 6 (- {(\frac{5}{6})}^{6})}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{6}$ .

$12 \frac{6 + 6 (- \frac{5^{6}}{6^{6}})}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5^{6}}{6^{6}}$ vào tử số.

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6^{6}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $6$ ra ngoài $6^{6}$ .

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6 \cdot 6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \frac{6 + 6 \frac{- 5^{6}}{6 \cdot 6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$12 \frac{6 + \frac{- 5^{6}}{6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $6$ .

$12 \frac{6 + \frac{- 1 \cdot 15625}{6^{5}}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.5

Nâng $6$ lên lũy thừa $5$ .

$12 \frac{6 + \frac{- 1 \cdot 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $15625$ .

$12 \frac{6 + \frac{- 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$12 \frac{6 - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.8

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7776}{7776}$ .

$12 \frac{6 \cdot \frac{7776}{7776} - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.9

Kết hợp $6$ và $\frac{7776}{7776}$ .

$12 \frac{\frac{6 \cdot 7776}{7776} - \frac{15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 \frac{\frac{6 \cdot 7776 - 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.11.1

Nhân $6$ với $7776$ .

$12 \frac{\frac{46656 - 15625}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.4.11.2

Trừ $15625$ khỏi $46656$ .

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{6 \cdot 1 - 5}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $6$ với $1$ .

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{6 - 5}$

Bước 5.5.2

Trừ $5$ khỏi $6$ .

$12 \frac{\frac{31031}{7776}}{1}$

Bước 5.6

Chia $\frac{31031}{7776}$ cho $1$ .

$12 (\frac{31031}{7776})$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $12$ ra ngoài $7776$ .

$12 \frac{31031}{12 (648)}$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \frac{31031}{12 \cdot 648}$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{31031}{648}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{31031}{648}$

Dạng thập phân:

$47.88734567 \dots$

Dạng hỗn số:

$47 \frac{575}{648}$