Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(3 x + 4 y)}^{5}$

Bước 1

Tam giác Pascal có thể được hiển thị như thế này:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Tam giác có thể được sử dụng để tính các hệ số của việc khai triển ${(a + b)}^{n}$ bằng cách lấy số mũ $n$ và cộng $1$ . Các hệ số sẽ tương ứng với đường thẳng $n + 1$ của tam giác. Đối với ${(3 x + 4 y)}^{5}$ , $n = 5$ , vì vậy các hệ số của việc khai triển sẽ tương ứng với đường thẳng $6$ .

Bước 2

Việc khai triển tuân theo quy tắc ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Các giá trị của các hệ số, từ tam giác, là $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a$ $3 x$ và $b$ $4 y$ vào biểu thức.

$1 {(3 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân ${(3 x)}^{5}$ với $1$ .

${(3 x)}^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$3^{5} x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$243 x^{5} {(4 y)}^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 y$ .

$243 x^{5} (4^{0} y^{0}) + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$243 \cdot 4^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 \cdot 1 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.7

Nhân $243$ với $1$ .

$243 x^{5} y^{0} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 x^{5} \cdot 1 + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.9

Nhân $243$ với $1$ .

$243 x^{5} + 5 {(3 x)}^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 5 (3^{4} x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.11

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$243 x^{5} + 5 (81 x^{4}) {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.12

Nhân $81$ với $5$ .

$243 x^{5} + 405 x^{4} {(4 y)}^{1} + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.13

Rút gọn.

$243 x^{5} + 405 x^{4} (4 y) + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.14

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$243 x^{5} + 405 \cdot 4 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.15

Nhân $405$ với $4$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 {(3 x)}^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.16

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 (3^{3} x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.17

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 10 (27 x^{3}) {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.18

Nhân $27$ với $10$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 x^{3} {(4 y)}^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.19

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 x^{3} (4^{2} y^{2}) + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.20

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 \cdot 4^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.21

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 270 \cdot 16 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.22

Nhân $270$ với $16$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 {(3 x)}^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.23

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 (3^{2} x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.24

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 10 (9 x^{2}) {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.25

Nhân $9$ với $10$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} {(4 y)}^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.26

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 x^{2} (4^{3} y^{3}) + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.27

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 \cdot 4^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.28

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 90 \cdot 64 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.29

Nhân $90$ với $64$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 5 {(3 x)}^{1} {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.30

Rút gọn.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 5 (3 x) {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.31

Nhân $3$ với $5$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 x {(4 y)}^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.32

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 x (4^{4} y^{4}) + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.33

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 4^{4} x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.34

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 15 \cdot 256 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.35

Nhân $15$ với $256$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.36

Nhân ${(3 x)}^{0}$ với $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + {(3 x)}^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.37

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 3^{0} x^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.38

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 x^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.39

Nhân $x^{0}$ với $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + x^{0} {(4 y)}^{5}$

Bước 4.40

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1 {(4 y)}^{5}$

Bước 4.41

Nhân ${(4 y)}^{5}$ với $1$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + {(4 y)}^{5}$

Bước 4.42

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 y$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 4^{5} y^{5}$

Bước 4.43

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$243 x^{5} + 1620 x^{4} y + 4320 x^{3} y^{2} + 5760 x^{2} y^{3} + 3840 x y^{4} + 1024 y^{5}$