Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $3^{y} + 2 = x$ .

$3^{y} + 2 = x$

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3^{y} = x - 2$

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

Khai triển $\ln (3^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ cho $\ln (3)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ cho $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 3^{x} + 2$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Tính $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3^{x} + 2 - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

Cộng $3^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Khai triển $\ln (3^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Tính $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 2 + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ là hàm ngược của $f (x) = 3^{x} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$