Giải tích sơ cấp Ví dụ

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3}$

Bước 1

Kết hợp $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $i$ .

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 2

Sử dụng định lý nhị thức.

${(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{8} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{8} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.7

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.8

Nhân $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.8.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{8} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.9

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{3} i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.11

Kết hợp.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.12

Nhân $2$ với $2^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.12.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.12.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.12.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.13.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.13.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.13.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.1.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.3

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.13.3.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.13.3.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.14

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

Bước 3.1.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.16.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.16.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{3} i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.17.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.3

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.17.3.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.3.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.5

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.6

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.7

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.8

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.17.8.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}$

Bước 3.1.17.8.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}$

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}$

Bước 3.1.18

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$

Bước 3.1.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

Bước 3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Bước 3.2.2

Trừ $9$ khỏi $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} i - 8 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

Bước 3.2.3

Trừ $3 \sqrt{3} i$ khỏi $3 \sqrt{3} i$ .

$\frac{0 - 8}{8}$

Bước 3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$\frac{- 8}{8}$

Bước 3.2.4.2

Chia $- 8$ cho $8$ .

$- 1$