Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Bước 1

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

Bước 2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

Bước 3

Nhân $\frac{x - 1}{x}$ với $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

Bước 4.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Bước 5

Rút gọn biểu thức $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

Bước 6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

Bước 7

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

Bước 7.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Bước 8

Nhân $\frac{1}{x + 1}$ với $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

Bước 9

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

Bước 10

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$