Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 12 y = - 3$

Bước 1

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Bước 1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{6}{1}$

Bước 1.3.2.2.4

Chia $6$ cho $1$ .

$d = 6$

Bước 1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Bước 1.4.2.1.3

Chia $144$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Bước 1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $36$ .

$e = 0 - 36$

Bước 1.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$e = - 36$

Bước 1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + 6)}^{2} - 36$ .

${(x + 6)}^{2} - 36$

Bước 2

Thay ${(x + 6)}^{2} - 36$ cho $x^{2} + 12 x$ trong phương trình $x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 12 y = - 3$ .

${(x + 6)}^{2} - 36 + 3 y^{2} - 12 y = - 3$

Bước 3

Di chuyển $- 36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

${(x + 6)}^{2} + 3 y^{2} - 12 y = - 3 + 36$

Bước 4

Hoàn thành bình phương cho $3 y^{2} - 12 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 0$

Bước 4.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Bước 4.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Bước 4.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 6}{3}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Bước 4.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Bước 4.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Bước 4.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 4.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 4.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Bước 4.4.2.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$e = 0 - \frac{144}{12}$

Bước 4.4.2.1.3

Chia $144$ cho $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 12$

Bước 4.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $12$ .

$e = 0 - 12$

Bước 4.4.2.2

Trừ $12$ khỏi $0$ .

$e = - 12$

Bước 4.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ .

$3 {(y - 2)}^{2} - 12$

Bước 5

Thay $3 {(y - 2)}^{2} - 12$ cho $3 y^{2} - 12 y$ trong phương trình $x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 12 y = - 3$ .

${(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} - 12 = - 3 + 36$

Bước 6

Di chuyển $- 12$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $12$ vào cả hai vế.

${(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = - 3 + 36 + 12$

Bước 7

Rút gọn $- 3 + 36 + 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $- 3$ và $36$ .

${(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 33 + 12$

Bước 7.2

Cộng $33$ và $12$ .

${(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 45$

Bước 8

Chia mỗi số hạng cho $45$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{45} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

Bước 9

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{45} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{15} = 1$