Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{3} - 12 x^{2} < 0$

Bước 1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Bước 2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3} - 12 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x^{2} x - 12 x^{2} = 0$

Bước 2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 = 0$

Bước 2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x + x^{2} \cdot - 12$ .

$x^{2} (x - 12) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 12 = 0$

Bước 4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5

Đặt $x - 12$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x - 12$ bằng với $0$ .

$x - 12 = 0$

Bước 5.2

Cộng $12$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 12$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x^{2} (x - 12) = 0$ đúng.

$x = 0, 12$

Bước 7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Bước 8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} < 0$

Bước 8.1.3

Vế trái $- 56$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 12$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 12$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 8.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2} < 0$

Bước 8.2.3

Vế trái $- 40$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 12$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 12$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 14$

Bước 8.3.2

Thay thế $x$ bằng $14$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(14)}^{3} - 12 {(14)}^{2} < 0$

Bước 8.3.3

Vế trái $392$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Đúng

$0 < x < 12$ Đúng

$x > 12$ Sai

$x < 0$ Đúng

$0 < x < 12$ Đúng

$x > 12$ Sai

Bước 9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < 0$ hoặc $0 < x < 12$

Bước 10

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- \infty, 0) \cup (0, 12)$

Bước 11