Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{4} - 80 x^{2} + 1024 < 0$

Bước 1

Thay $u = x^{2}$ vào phương trình. Điều này sẽ làm cho công thức bậc hai dễ sử dụng.

$u^{2} - 80 u + 1024 = 0$

$u = x^{2}$

Bước 2

Phân tích $u^{2} - 80 u + 1024$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $1024$ và tổng của chúng là $- 80$ .

$- 64, - 16$

Bước 2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(u - 64) (u - 16) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$u - 64 = 0$

$u - 16 = 0$

Bước 4

Đặt $u - 64$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $u - 64$ bằng với $0$ .

$u - 64 = 0$

Bước 4.2

Cộng $64$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 64$

Bước 5

Đặt $u - 16$ bằng $0$ và giải tìm $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $u - 16$ bằng với $0$ .

$u - 16 = 0$

Bước 5.2

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$u = 16$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(u - 64) (u - 16) = 0$ đúng.

$u = 64, 16$

Bước 7

Thay giá trị thực tế của $u = x^{2}$ trở lại vào phương trình đã giải.

$x^{2} = 64$

${(x^{2})}^{1} = 16$

Bước 8

Giải phương trình đầu tiên để tìm $x$ .

$x^{2} = 64$

Bước 9

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{64}$

Bước 9.2

Rút gọn $\pm \sqrt{64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Bước 9.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 8$

Bước 9.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 8$

Bước 9.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 8$

Bước 9.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 8, - 8$

Bước 10

Giải phương trình thứ hai để tìm $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 16$

Bước 11

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} = 16$

Bước 11.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Bước 11.3

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Bước 11.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Bước 11.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Bước 11.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Bước 11.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Bước 12

Đáp án cho $x^{4} - 80 x^{2} + 1024 = 0$ là $x = 8, - 8, 4, - 4$ .

$x = 8, - 8, 4, - 4$

Bước 13

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Bước 14

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 8$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 8$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 10$

Bước 14.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 10)}^{4} - 80 {(- 10)}^{2} + 1024 < 0$

Bước 14.1.3

Vế trái $3024$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 8 < x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 8 < x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 14.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 6)}^{4} - 80 {(- 6)}^{2} + 1024 < 0$

Bước 14.2.3

Vế trái $- 560$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 14.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 14.3.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{4} - 80 {(0)}^{2} + 1024 < 0$

Bước 14.3.3

Vế trái $1024$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $4 < x < 8$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $4 < x < 8$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 14.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(6)}^{4} - 80 {(6)}^{2} + 1024 < 0$

Bước 14.4.3

Vế trái $- 560$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 14.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 8$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 8$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 10$

Bước 14.5.2

Thay thế $x$ bằng $10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(10)}^{4} - 80 {(10)}^{2} + 1024 < 0$

Bước 14.5.3

Vế trái $3024$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 14.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 8$ Sai

$- 8 < x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < 4$ Sai

$4 < x < 8$ Đúng

$x > 8$ Sai

$x < - 8$ Sai

$- 8 < x < - 4$ Đúng

$- 4 < x < 4$ Sai

$4 < x < 8$ Đúng

$x > 8$ Sai

Bước 15

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 8 < x < - 4$ hoặc $4 < x < 8$

Bước 16

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 8, - 4) \cup (4, 8)$

Bước 17