Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (3 x) = \frac{1}{2}$ , $[0, 2 π)$

Bước 1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$3 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Bước 2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{6}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{π}{6}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Bước 3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 3.3.2

Nhân $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $\frac{π}{6}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $6$ với $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Bước 4

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$3 x = π - \frac{π}{6}$

Bước 5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 5.1.2

Kết hợp $π$ và $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 5.1.4

Trừ $π$ khỏi $π \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Sắp xếp lại $π$ và $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Bước 5.1.4.2

Trừ $π$ khỏi $6 \cdot π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Nhân $\frac{5 π}{6}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Bước 5.2.3.2.2

Nhân $6$ với $3$ .

$x = \frac{5 π}{18}$

Bước 6

Tìm chu kỳ của $\sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 6.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 7

Chu kỳ của hàm $\sin (3 x)$ là $\frac{2 π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{2 π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $[0, 2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Bước 8.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $2 π (0)$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Bước 8.1.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Bước 8.1.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Bước 8.1.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Bước 8.1.2.1.1.2.4

Chia $2 π \cdot (0)$ cho $1$ .

$\frac{π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Bước 8.1.2.1.2

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1.2.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{π}{18} + 0 π$

Bước 8.1.2.1.2.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{π}{18} + 0$

Bước 8.1.2.2

Cộng $\frac{π}{18}$ và $0$ .

$\frac{π}{18}$

Bước 8.1.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}$

Bước 8.2

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (0)}{3}$

Bước 8.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Bước 8.2.2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Bước 8.2.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 π}{18} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Bước 8.2.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Bước 8.2.2.1.1.2.4

Chia $2 π \cdot (0)$ cho $1$ .

$\frac{5 π}{18} + 2 π \cdot (0)$

Bước 8.2.2.1.2

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.2.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{5 π}{18} + 0 π$

Bước 8.2.2.1.2.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{5 π}{18} + 0$

Bước 8.2.2.2

Cộng $\frac{5 π}{18}$ và $0$ .

$\frac{5 π}{18}$

Bước 8.2.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{5 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}$

Bước 8.3

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Bước 8.3.2.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 8.3.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Bước 8.3.2.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + 2 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.5.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{π + 12 π}{18}$

Bước 8.3.2.5.2

Cộng $π$ và $12 π$ .

$\frac{13 π}{18}$

Bước 8.3.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{13 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}$

Bước 8.4

Điền $1$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Thay vào $1$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (1)}{3}$

Bước 8.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Bước 8.4.2.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 8.4.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Bước 8.4.2.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.5.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{5 π + 12 π}{18}$

Bước 8.4.2.5.2

Cộng $5 π$ và $12 π$ .

$\frac{17 π}{18}$

Bước 8.4.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{17 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}$

Bước 8.5

Điền $2$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Thay vào $2$ cho $n$ .

$\frac{π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Bước 8.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Bước 8.5.2.2

Để viết $\frac{4 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 8.5.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.3.1

Nhân $\frac{4 π}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Bước 8.5.2.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.5.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π + 4 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.5.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.5.1

Nhân $6$ với $4$ .

$\frac{π + 24 π}{18}$

Bước 8.5.2.5.2

Cộng $π$ và $24 π$ .

$\frac{25 π}{18}$

Bước 8.5.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{25 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}$

Bước 8.6

Điền $2$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Thay vào $2$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{2 π (2)}{3}$

Bước 8.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3}$

Bước 8.6.2.2

Để viết $\frac{4 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 8.6.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.3.1

Nhân $\frac{4 π}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{3 \cdot 6}$

Bước 8.6.2.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{5 π}{18} + \frac{4 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 6}{18}$

Bước 8.6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.5.1

Nhân $6$ với $4$ .

$\frac{5 π + 24 π}{18}$

Bước 8.6.2.5.2

Cộng $5 π$ và $24 π$ .

$\frac{29 π}{18}$

Bước 8.6.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{29 π}{18}$ .

$x = \frac{π}{18}, \frac{5 π}{18}, \frac{13 π}{18}, \frac{17 π}{18}, \frac{25 π}{18}, \frac{29 π}{18}$