Giải tích sơ cấp Ví dụ

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y - 121 = 0$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của hyperbol.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $121$ cho cả hai vế của phương trình.

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y = 121$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $16 x^{2} - 64 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 64$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 32}{16}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

Bước 1.2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 2}{1}$

Bước 1.2.3.2.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$d = - 2$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 64$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $4096$ cho $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $64$ .

$e = 0 - 64$

Bước 1.2.4.2.2

Trừ $64$ khỏi $0$ .

$e = - 64$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

Bước 1.3

Thay $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ cho $16 x^{2} - 64 x$ trong phương trình $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y = 121$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} + 18 y = 121$

Bước 1.4

Di chuyển $- 64$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $64$ vào cả hai vế.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} + 18 y = 121 + 64$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 9 y^{2} + 18 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 9$

$b = 18$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (- 9)}$

Bước 1.5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{9}{- 9}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $- 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 (1)}{- 9}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Bước 1.5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$d = - 1$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot - 9}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $18$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 9$ .

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Chia $324$ cho $- 36$ .

$e = 0 - - 9$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $9$ .

$e = 9$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 9 {(y - 1)}^{2} + 9$ .

$- 9 {(y - 1)}^{2} + 9$

Bước 1.6

Thay $- 9 {(y - 1)}^{2} + 9$ cho $- 9 y^{2} + 18 y$ trong phương trình $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x + 18 y = 121$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} + 9 = 121 + 64$

Bước 1.7

Di chuyển $9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} = 121 + 64 - 9$

Bước 1.8

Rút gọn $121 + 64 - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Cộng $121$ và $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} = 185 - 9$

Bước 1.8.2

Trừ $9$ khỏi $185$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y - 1)}^{2} = 176$

Bước 1.9

Chia mỗi số hạng cho $176$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{176} - \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{176} = \frac{176}{176}$

Bước 1.10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{11} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{\frac{176}{9}} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = \sqrt{11}$

$b = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

$k = 1$

$h = 2$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(2, 1)$

Bước 5