Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1

Sử dụng định nghĩa của cosin để tìm các cạnh đã biết của tam giác vuông nội tiếp đường tròn đơn vị. Góc phần tư xác định dấu của mỗi giá trị.

$\cos (2 θ) = \frac{kề}{cạnh huyền}$

Bước 2

Tìm cạnh đối của tam giác nội tiếp đường tròn đơn vị. Vì cạnh kề và cạnh huyền đã biết, ta dùng định lý Pytago để tìm cạnh còn lại.

$Đối = \sqrt{{cạnh huyền}^{2} - {kề}^{2}}$

Bước 3

Thay thế các giá trị đã biết trong phương trình.

$Đối = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn phần bên trong căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - {(- \sqrt{3})}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{3}$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển ${(- 1)}^{2}$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2})}$

Bước 4.3.2

Nhân ${(- 1)}^{2}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{3}}^{2})}$

Bước 4.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

Cạnh đối $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 4.5

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Cạnh đối $= \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.5.4.2

Viết lại biểu thức.

Cạnh đối $= \sqrt{4 - 3}$

Bước 4.5.5

Tính số mũ.

Cạnh đối $= \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Bước 4.6

Nhân $- 1$ với $3$ .

Cạnh đối $= \sqrt{4 - 3}$

Bước 4.7

Trừ $3$ khỏi $4$ .

Cạnh đối $= \sqrt{1}$

Bước 4.8

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

Cạnh đối $= 1$

Bước 5

Tìm sin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng định nghĩa của sin để tìm giá trị của $\sin (2 θ)$ .

$\sin (2 θ) = \frac{opp}{hyp}$

Bước 5.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

Bước 6

Tìm tang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của $\tan (2 θ)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{opp}{adj}$

Bước 6.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\tan (2 θ) = \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Bước 6.3

Rút gọn giá trị của $\tan (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\tan (2 θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{3}}$

Bước 6.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\tan (2 θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bước 6.3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Bước 6.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.3.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.3.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 6.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 6.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 6.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 6.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 6.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 6.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 6.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 7

Tìm cotang.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định nghĩa của cotang để tìm giá trị của $\cot (2 θ)$ .

$\cot (2 θ) = \frac{adj}{opp}$

Bước 7.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\cot (2 θ) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Bước 7.3

Chia $- \sqrt{3}$ cho $1$ .

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

Bước 8

Tìm secant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sử dụng định nghĩa của secant để tìm giá trị của $\sec (2 θ)$ .

$\sec (2 θ) = \frac{hyp}{adj}$

Bước 8.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\sec (2 θ) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Bước 8.3

Rút gọn giá trị của $\sec (2 θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sec (2 θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Bước 8.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 8.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 8.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 8.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 8.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 8.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 8.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 8.3.3.6.5

Tính số mũ.

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Tìm cosecant.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng định nghĩa của cosecant để tìm giá trị của $\csc (2 θ)$ .

$\csc (2 θ) = \frac{hyp}{opp}$

Bước 9.2

Thay vào các giá trị đã biết.

$\csc (2 θ) = \frac{2}{1}$

Bước 9.3

Chia $2$ cho $1$ .

$\csc (2 θ) = 2$

Bước 10

Đây là đáp án cho mỗi giá trị lượng giác.

$\sin (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (2 θ) = - \sqrt{3}$

$\sec (2 θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (2 θ) = 2$