Giải tích sơ cấp Ví dụ

$z^{3} = 27$

Bước 1

Trừ $27$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$z^{3} - 27 = 0$

Bước 2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$z^{3} - 3^{3} = 0$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = z$ và $b = 3$ .

$(z - 3) (z^{2} + z \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $z$ .

$(z - 3) (z^{2} + 3 z + 3^{2}) = 0$

Bước 2.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$z - 3 = 0$

$z^{2} + 3 z + 9 = 0$

Bước 4

Đặt $z - 3$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $z - 3$ bằng với $0$ .

$z - 3 = 0$

Bước 4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$z = 3$

Bước 5

Đặt $z^{2} + 3 z + 9$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $z^{2} + 3 z + 9$ bằng với $0$ .

$z^{2} + 3 z + 9 = 0$

Bước 5.2

Giải $z^{2} + 3 z + 9 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 3$ , và $c = 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $z$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $9$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.3

Trừ $36$ khỏi $9$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.4

Viết lại $- 27$ ở dạng $- 1 (27)$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (27)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.7

Viết lại $27$ ở dạng $3^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.7.1

Đưa $9$ ra ngoài $27$ .

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.7.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$z = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.1.9

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $i$ .

$z = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$z = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$z = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(z - 3) (z^{2} + 3 z + 9) = 0$ đúng.

$z = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$