Giải tích sơ cấp Ví dụ

$10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x - 225 = 0$

Bước 1

Cộng $225$ cho cả hai vế của phương trình.

$10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $10 y^{2} + 60 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 10$

$b = 60$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{60}{2 \cdot 10}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $60$ .

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 10}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 10$ .

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 (10)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 10}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{30}{10}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $30$ .

$d = \frac{10 \cdot 3}{10}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Đưa $10$ ra ngoài $10$ .

$d = \frac{10 \cdot 3}{10 (1)}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{10 \cdot 3}{10 \cdot 1}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{1}$

Bước 2.3.2.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$d = 3$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{60^{2}}{4 \cdot 10}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $60$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{3600}{4 \cdot 10}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $10$ .

$e = 0 - \frac{3600}{40}$

Bước 2.4.2.1.3

Chia $3600$ cho $40$ .

$e = 0 - 1 \cdot 90$

Bước 2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $90$ .

$e = 0 - 90$

Bước 2.4.2.2

Trừ $90$ khỏi $0$ .

$e = - 90$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $10 {(y + 3)}^{2} - 90$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 90$

Bước 3

Thay $10 {(y + 3)}^{2} - 90$ cho $10 y^{2} + 60 y$ trong phương trình $10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 90 - 20 x^{2} + 160 x = 225$

Bước 4

Di chuyển $- 90$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $90$ vào cả hai vế.

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 x^{2} + 160 x = 225 + 90$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $- 20 x^{2} + 160 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 20$

$b = 160$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{160}{2 \cdot - 20}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $160$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $160$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 20}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 (- 20)}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 80}{2 \cdot - 20}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{80}{- 20}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $80$ và $- 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Đưa $20$ ra ngoài $80$ .

$d = \frac{20 (4)}{- 20}$

Bước 5.3.2.2.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Bước 5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$d = - 4$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{160^{2}}{4 \cdot - 20}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $160$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot - 20}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 20$ .

$e = 0 - \frac{25600}{- 80}$

Bước 5.4.2.1.3

Chia $25600$ cho $- 80$ .

$e = 0 - - 320$

Bước 5.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 320$ .

$e = 0 + 320$

Bước 5.4.2.2

Cộng $0$ và $320$ .

$e = 320$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$ .

$- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$

Bước 6

Thay $- 20 {(x - 4)}^{2} + 320$ cho $- 20 x^{2} + 160 x$ trong phương trình $10 y^{2} - 20 x^{2} + 60 y + 160 x = 225$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} + 320 = 225 + 90$

Bước 7

Di chuyển $320$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $320$ vào cả hai vế.

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = 225 + 90 - 320$

Bước 8

Rút gọn $225 + 90 - 320$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $225$ và $90$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = 315 - 320$

Bước 8.2

Trừ $320$ khỏi $315$ .

$10 {(y + 3)}^{2} - 20 {(x - 4)}^{2} = - 5$

Bước 9

Đổi dấu mỗi số hạng của phương trình để cho số hạng ở vế phải dương.

$- 10 {(y + 3)}^{2} + 20 {(x - 4)}^{2} = 5$

Bước 10

Chia mỗi số hạng cho $5$ để làm cho vế phải bằng một.

$- \frac{10 {(y + 3)}^{2}}{5} + \frac{20 {(x - 4)}^{2}}{5} = \frac{5}{5}$

Bước 11

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1$