Giải tích sơ cấp Ví dụ

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Bước 1

Tìm nghịch đảo của $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Có thể tìm nghịch đảo của một ma trận $2 \times 2$ bằng công thức $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ trong đó $a d - b c$ là định thức.

Bước 1.2

Tìm định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 2 - (- 3 \cdot 4)$

Bước 1.2.2

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Nhân $5$ với $2$ .

$10 - (- 3 \cdot 4)$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $- (- 3 \cdot 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.2.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$10 - - 12$

Bước 1.2.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$10 + 12$

Bước 1.2.2.2

Cộng $10$ và $12$ .

$22$

Bước 1.3

Vì định thức khác không nên nghịch đảo tồn tại.

Bước 1.4

Thay các giá trị đã biết vào công thức cho nghịch đảo.

$\frac{1}{22} [\begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Bước 1.5

Nhân $\frac{1}{22}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{22} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (11)} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot 2 & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.1.3

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{22} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 (11)} \cdot - 4 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{2 \cdot 11} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{1}{11} \cdot - 2 \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.3

Kết hợp $\frac{1}{11}$ và $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & \frac{- 2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{1}{22} \cdot 3 & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.5

Kết hợp $\frac{1}{22}$ và $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{1}{22} \cdot 5 \end{array}]$

Bước 1.6.6

Kết hợp $\frac{1}{22}$ và $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}]$

Bước 2

Nhân cả hai vế với nghịch đảo của $[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Bước 3

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là $2 \times 2$ và ma trận thứ hai là $2 \times 2$ .

Bước 3.1.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 5 - \frac{2}{11} \cdot - 3 & \frac{1}{11} \cdot 4 - \frac{2}{11} \cdot 2 \\ \frac{3}{22} \cdot 5 + \frac{5}{22} \cdot - 3 & \frac{3}{22} \cdot 4 + \frac{5}{22} \cdot 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Bước 3.1.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Bước 3.2

Nhân ma trận đơn vị với ma trận bất kỳ $A$ đều được chính ma trận $A$ .

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$

Bước 3.3

Nhân $[\begin{array}{c} \frac{1}{11} & - \frac{2}{11} \\ \frac{3}{22} & \frac{5}{22} \end{array}] [\begin{array}{c} 10 \\ - 16 \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chỉ có thể nhân hai ma trận với nhau khi số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Trong trường hợp này, ma trận đầu tiên là $2 \times 2$ và ma trận thứ hai là $2 \times 1$ .

Bước 3.3.2

Nhân từng hàng trong ma trận đầu với từng cột của ma trận sau.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{11} \cdot 10 - \frac{2}{11} \cdot - 16 \\ \frac{3}{22} \cdot 10 + \frac{5}{22} \cdot - 16 \end{array}]$

Bước 3.3.3

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận bằng cách nhân ra tất cả các biểu thức.

$x = [\begin{array}{c} \frac{42}{11} \\ - \frac{25}{11} \end{array}]$