Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16} < 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Bước 2

Phân tích $x^{2} + 2 x - 8$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 8$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 2, 4$

Bước 2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Bước 4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 5

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x + 4) = 0$ đúng.

$x = 2, - 4$

Bước 7

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 16$

Bước 8

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Bước 9

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Bước 9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Bước 10

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Bước 10.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Bước 10.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Bước 11

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 2, - 4$

$x = 4, - 4$

Bước 12

Hợp nhất các đáp án.

$x = 2, - 4, 4, - 4$

Bước 13

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 16}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} - 16 = 0$

Bước 13.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 16$

Bước 13.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Bước 13.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Bước 13.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Bước 13.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Bước 13.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Bước 13.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Bước 13.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 14

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Bước 15

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 15.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8}{{(- 6)}^{2} - 16} < 0$

Bước 15.1.3

Vế trái $0.8$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 15.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 15.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8}{{(0)}^{2} - 16} < 0$

Bước 15.2.3

Vế trái $0.5$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 15.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 3$

Bước 15.3.2

Thay thế $x$ bằng $3$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(3)}^{2} + 2 (3) - 8}{{(3)}^{2} - 16} < 0$

Bước 15.3.3

Vế trái $- 1$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 15.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 15.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(6)}^{2} + 2 (6) - 8}{{(6)}^{2} - 16} < 0$

Bước 15.4.3

Vế trái $2$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 15.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 2$ Sai

$2 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 2$ Sai

$2 < x < 4$ Đúng

$x > 4$ Sai

Bước 16

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$2 < x < 4$

Bước 17

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(2, 4)$

Bước 18