Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\log_{5} (2 x - 1)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \log_{5} (2 y - 1)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\log_{5} (2 y - 1) = x$ .

$\log_{5} (2 y - 1) = x$

Bước 2.2

Viết lại $\log_{5} (2 y - 1) = x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$5^{x} = 2 y - 1$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 y - 1 = 5^{x}$ .

$2 y - 1 = 5^{x}$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y = 5^{x} + 1$

Bước 2.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 5^{x} + 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = 5^{x} + 1$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 2.3.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)}}{2} + \frac{1}{2}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{5^{\log_{5} (2 x - 1)} + 1}{2}$

Bước 4.2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Bước 4.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 1 + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Bước 4.2.5.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Bước 4.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = \frac{2 x}{2}$

Bước 4.2.6.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (2 x - 1)) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1)$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (2 (\frac{5^{x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Bước 4.3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Bước 4.3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Bước 4.3.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 1 - 1)$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $5^{x} + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x} + 0)$

Bước 4.3.4.2

Cộng $5^{x}$ và $0$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = \log_{5} (5^{x})$

Bước 4.3.5

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \log_{5} (5)$

Bước 4.3.6

Logarit cơ số $5$ của $5$ là $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x \cdot 1$

Bước 4.3.7

Nhân $x$ với $1$ .

$f (\frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \log_{5} (2 x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5^{x}}{2} + \frac{1}{2}$