Giải tích sơ cấp Ví dụ

$6 x^{2} + 2 y^{2} + 18 x - 10 y + 2 = 0$

Bước 1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 x^{2} + 2 y^{2} + 18 x - 10 y = - 2$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $6 x^{2} + 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 6$

$b = 18$

$c = 0$

Bước 2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 6}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 6}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (6)}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 6}$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{9}{6}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{3 (3)}{6}$

Bước 2.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Bước 2.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{2}$

Bước 2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 6}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $18$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 6}$

Bước 2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $6$ .

$e = 0 - \frac{324}{24}$

Bước 2.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $324$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.3.1

Đưa $12$ ra ngoài $324$ .

$e = 0 - \frac{12 (27)}{24}$

Bước 2.4.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.3.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $24$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 27}{12 \cdot 2}$

Bước 2.4.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 27}{12 \cdot 2}$

Bước 2.4.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{27}{2}$

Bước 2.4.2.2

Trừ $\frac{27}{2}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{27}{2}$

Bước 2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Bước 3

Thay $6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ cho $6 x^{2} + 18 x$ trong phương trình $6 x^{2} + 2 y^{2} + 18 x - 10 y = - 2$ .

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{27}{2} + 2 y^{2} - 10 y = - 2$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{27}{2}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{27}{2}$ vào cả hai vế.

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 y^{2} - 10 y = - 2 + \frac{27}{2}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $2 y^{2} - 10 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = - 10$

$c = 0$

Bước 5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 2}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Bước 5.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (2)}$

Bước 5.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Bước 5.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 5}{2}$

Bước 5.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{5}{2}$

Bước 5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{8}$

Bước 5.4.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $100$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $100$ .

$e = 0 - \frac{4 (25)}{8}$

Bước 5.4.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = 0 - \frac{25}{2}$

Bước 5.4.2.2

Trừ $\frac{25}{2}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{2}$

Bước 5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{2}$ .

$2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{2}$

Bước 6

Thay $2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{2}$ cho $2 y^{2} - 10 y$ trong phương trình $6 x^{2} + 2 y^{2} + 18 x - 10 y = - 2$ .

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{2} = - 2 + \frac{27}{2}$

Bước 7

Di chuyển $- \frac{25}{2}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{2}$ vào cả hai vế.

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} = - 2 + \frac{27}{2} + \frac{25}{2}$

Bước 8

Rút gọn $- 2 + \frac{27}{2} + \frac{25}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} = - 2 + \frac{27 + 25}{2}$

Bước 8.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $27$ và $25$ .

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} = - 2 + \frac{52}{2}$

Bước 8.2.2

Chia $52$ cho $2$ .

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} = - 2 + 26$

Bước 8.2.3

Cộng $- 2$ và $26$ .

$6 {(x + \frac{3}{2})}^{2} + 2 {(y - \frac{5}{2})}^{2} = 24$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $24$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{6 {(x + \frac{3}{2})}^{2}}{24} + \frac{2 {(y - \frac{5}{2})}^{2}}{24} = \frac{24}{24}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + \frac{3}{2})}^{2}}{4} + \frac{{(y - \frac{5}{2})}^{2}}{12} = 1$