Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = {(x^{\frac{2}{3}} - 1)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{2}{3}} - 1$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{2}{3}} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 7.3

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0)$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ và $0$ .

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ và $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

Bước 9.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ và $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2.3

Nhân $x^{\frac{2}{3}}$ với $x^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 x^{\frac{- 1 + 2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2.3.4

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

Bước 10.2.4

Kết hợp $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ và $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.5

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$