Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} - 16} > 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

Bước 2

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 16$

Bước 3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Bước 4

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Bước 4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Bước 5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Bước 5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Bước 5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Bước 6

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = 4, - 4$

Bước 7

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, 4, - 4$

Bước 8

Tìm tập xác định của $\frac{x}{x^{2} - 16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{x^{2} - 16}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} - 16 = 0$

Bước 8.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 16$

Bước 8.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Bước 8.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Bước 8.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Bước 8.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Bước 8.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Bước 8.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Bước 8.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Bước 9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Bước 10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} - 16} > 0$

Bước 10.1.3

Vế trái $- 0.3$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 10.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 16} > 0$

Bước 10.2.3

Vế trái $0.1\overline{6}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 10.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 16} > 0$

Bước 10.3.3

Vế trái $- 0.1\overline{6}$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 10.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 10.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{6}{{(6)}^{2} - 16} > 0$

Bước 10.4.3

Vế trái $0.3$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 10.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 0$ Đúng

$0 < x < 4$ Sai

$x > 4$ Đúng

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 0$ Đúng

$0 < x < 4$ Sai

$x > 4$ Đúng

Bước 11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 < x < 0$ hoặc $x > 4$

Bước 12

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 4, 0) \cup (4, \infty)$

Bước 13