Giải tích sơ cấp Ví dụ

$y = 2^{x} - 3$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2^{y} - 3$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $2^{y} - 3 = x$ .

$2^{y} - 3 = x$

Bước 2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$2^{y} = x + 3$

Bước 2.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{y}) = \ln (x + 3)$

Bước 2.4

Khai triển $\ln (2^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$

Bước 2.5

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Bước 2.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Bước 3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2^{x} - 3$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (2^{x} - 3)$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2^{x} - 3 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Bước 4.2.3.2

Cộng $2^{x}$ và $0$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Bước 4.2.4

Khai triển $\ln (2^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Bước 4.2.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}} - 3$

Bước 4.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

Bước 4.3.3.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 3 - 3$

Bước 4.3.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 3 - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 0$

Bước 4.3.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ là hàm ngược của $f (x) = 2^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$