Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{3} - 512 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $512$ ở dạng $8^{3}$ .

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Bước 1.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Bước 1.3.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Bước 3

Đặt $x - 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $x - 8$ bằng với $0$ .

$x - 8 = 0$

Bước 3.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 8$

Bước 4

Đặt $x^{2} + 8 x + 64$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $x^{2} + 8 x + 64$ bằng với $0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Bước 4.2

Giải $x^{2} + 8 x + 64 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 8$ , và $c = 64$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.3

Trừ $256$ khỏi $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.4

Viết lại $- 192$ ở dạng $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (192)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.7

Viết lại $192$ ở dạng $8^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.7.1

Đưa $64$ ra ngoài $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.7.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.1.9

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 4.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Bước 4.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.3

Trừ $256$ khỏi $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.4

Viết lại $- 192$ ở dạng $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (192)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.7

Viết lại $192$ ở dạng $8^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1.7.1

Đưa $64$ ra ngoài $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.7.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.1.9

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 4.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Bước 4.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}$

Bước 4.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.3

Trừ $256$ khỏi $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.4

Viết lại $- 192$ ở dạng $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (192)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.7

Viết lại $192$ ở dạng $8^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1.7.1

Đưa $64$ ra ngoài $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.7.2

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.1.9

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Bước 4.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Bước 4.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Bước 4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ đúng.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$