Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{2} - 20 x + 24 y + 61 = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Trừ $4 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 20 x + 24 y + 61 = - 4 x^{2}$

Bước 1.1.1.2

Cộng $20 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$24 y + 61 = - 4 x^{2} + 20 x$

Bước 1.1.1.3

Trừ $61$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$ cho $24$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $24 y = - 4 x^{2} + 20 x - 61$ cho $24$ .

$\frac{24 y}{24} = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{24 y}{24} = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 4 x^{2}}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{4 (- x^{2})}{24} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$y = \frac{4 (- x^{2})}{4 (6)} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{4 (- x^{2})}{4 \cdot 6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{20 x}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $20 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{24} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{4 (6)} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{4 (5 x)}{4 \cdot 6} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} + \frac{- 61}{24}$

Bước 1.1.2.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} - \frac{61}{24}$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- \frac{x^{2}}{6} + \frac{5 x}{6} - \frac{61}{24}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{5}{6}$

$c = - \frac{61}{24}$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{6}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{6} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{6})})$

Bước 1.2.3.2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2}{6}})$

Bước 1.2.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{6}})$

Bước 1.2.3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})$

Bước 1.2.3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}})$

Bước 1.2.3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{6} (- \frac{1}{\frac{1}{3}})$

Bước 1.2.3.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{5}{6} (- (1 \cdot 3))$

Bước 1.2.3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{5}{3 (2)} (- (1 \cdot 3))$

Bước 1.2.3.2.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $- (1 \cdot 3)$ .

$d = \frac{5}{3 (2)} (3 (- 1 \cdot (1)))$

Bước 1.2.3.2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5}{3 \cdot 2} (3 (- 1 \cdot (1)))$

Bước 1.2.3.2.6.4

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{2} (- 1 \cdot (1))$

Bước 1.2.3.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot - 1$

Bước 1.2.3.2.8

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $- 1$ .

$d = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Bước 1.2.3.2.9

Nhân $5$ với $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Bước 1.2.3.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{5}{2}$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{{(\frac{5}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{6}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.4.2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.4.2.1.1.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Bước 1.2.4.2.1.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{6}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 4}{6}}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Bước 1.2.4.2.1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Bước 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Bước 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{\frac{- 2}{3}}$

Bước 1.2.4.2.1.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{61}{24} - \frac{\frac{25}{36}}{- \frac{2}{3}}$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{36} (- \frac{3}{2}))$

Bước 1.2.4.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{36} \cdot \frac{- 3}{2})$

Bước 1.2.4.2.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 (12)} \cdot \frac{- 3}{2})$

Bước 1.2.4.2.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 \cdot 12} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2})$

Bước 1.2.4.2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{3 \cdot 12} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2})$

Bước 1.2.4.2.1.5.5

Viết lại biểu thức.

$e = - \frac{61}{24} - (\frac{25}{12} \cdot \frac{- 1}{2})$

Bước 1.2.4.2.1.6

Nhân $\frac{25}{12}$ với $\frac{- 1}{2}$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{25 \cdot - 1}{12 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.1.7

Nhân $25$ với $- 1$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{- 25}{12 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.1.8

Nhân $12$ với $2$ .

$e = - \frac{61}{24} - \frac{- 25}{24}$

Bước 1.2.4.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{61}{24} - - \frac{25}{24}$

Bước 1.2.4.2.1.10

Nhân $- - \frac{25}{24}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = - \frac{61}{24} + 1 (\frac{25}{24})$

Bước 1.2.4.2.1.10.2

Nhân $\frac{25}{24}$ với $1$ .

$e = - \frac{61}{24} + \frac{25}{24}$

Bước 1.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e = \frac{- 61 + 25}{24}$

Bước 1.2.4.2.3

Cộng $- 61$ và $25$ .

$e = \frac{- 36}{24}$

Bước 1.2.4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 36$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.4.1

Đưa $12$ ra ngoài $- 36$ .

$e = \frac{12 (- 3)}{24}$

Bước 1.2.4.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.4.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $24$ .

$e = \frac{12 \cdot - 3}{12 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e = \frac{12 \cdot - 3}{12 \cdot 2}$

Bước 1.2.4.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$e = \frac{- 3}{2}$

Bước 1.2.4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = - \frac{3}{2}$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- \frac{1}{6} {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{6} {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$

Bước 1.3

Đặt $y$ bằng với vế phải mới.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{3}{2}$

Bước 2

Sử dụng dạng đỉnh, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , xác định giá trị của $a$ , $h$ và $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

Bước 3

Tìm đỉnh $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{3}{2})$

Bước 4