Giải tích sơ cấp Ví dụ

$8 z^{3} - 125 = 0$

Bước 1

Cộng $125$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 z^{3} = 125$

Bước 2

Trừ $125$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 z^{3} - 125 = 0$

Bước 3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $8 z^{3}$ ở dạng ${(2 z)}^{3}$ .

${(2 z)}^{3} - 125 = 0$

Bước 3.2

Viết lại $125$ ở dạng $5^{3}$ .

${(2 z)}^{3} - 5^{3} = 0$

Bước 3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 2 z$ và $b = 5$ .

$(2 z - 5) ({(2 z)}^{2} + 2 z \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 z$ .

$(2 z - 5) (2^{2} z^{2} + 2 z \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 3.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(2 z - 5) (4 z^{2} + 2 z \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 3.4.3

Nhân $5$ với $2$ .

$(2 z - 5) (4 z^{2} + 10 z + 5^{2}) = 0$

Bước 3.4.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$(2 z - 5) (4 z^{2} + 10 z + 25) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 z - 5 = 0$

$4 z^{2} + 10 z + 25 = 0$

Bước 5

Đặt $2 z - 5$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $2 z - 5$ bằng với $0$ .

$2 z - 5 = 0$

Bước 5.2

Giải $2 z - 5 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 z = 5$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 z = 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 z = 5$ cho $2$ .

$\frac{2 z}{2} = \frac{5}{2}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 z}{2} = \frac{5}{2}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Chia $z$ cho $1$ .

$z = \frac{5}{2}$

Bước 6

Đặt $4 z^{2} + 10 z + 25$ bằng $0$ và giải tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $4 z^{2} + 10 z + 25$ bằng với $0$ .

$4 z^{2} + 10 z + 25 = 0$

Bước 6.2

Giải $4 z^{2} + 10 z + 25 = 0$ để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.2.2

Thay các giá trị $a = 4$ , $b = 10$ , và $c = 25$ vào công thức bậc hai và giải tìm $z$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 25)}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 16 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Nhân $- 16$ với $25$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.3

Trừ $400$ khỏi $100$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.4

Viết lại $- 300$ ở dạng $- 1 (300)$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (300)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ .

$z = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.7

Viết lại $300$ ở dạng $10^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.7.1

Đưa $100$ ra ngoài $300$ .

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.7.2

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$z = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.1.9

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $i$ .

$z = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$z = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{8}$ .

$z = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$z = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 z - 5) (4 z^{2} + 10 z + 25) = 0$ đúng.

$z = \frac{5}{2}, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{4}$