Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Bước 1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 45, \pm 11.25, \pm 22.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Bước 1.1.3

Thay $- 3$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 3$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Thay $- 3$ vào đa thức.

$4 {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Bước 1.1.3.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$4 \cdot - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $- 27$ .

$- 108 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Bước 1.1.3.4

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$- 108 - 11 \cdot 9 - 54 \cdot - 3 + 45$

Bước 1.1.3.5

Nhân $- 11$ với $9$ .

$- 108 - 99 - 54 \cdot - 3 + 45$

Bước 1.1.3.6

Trừ $99$ khỏi $- 108$ .

$- 207 - 54 \cdot - 3 + 45$

Bước 1.1.3.7

Nhân $- 54$ với $- 3$ .

$- 207 + 162 + 45$

Bước 1.1.3.8

Cộng $- 207$ và $162$ .

$- 45 + 45$

Bước 1.1.3.9

Cộng $- 45$ và $45$ .

$0$

Bước 1.1.4

Vì $- 3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 3$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45}{x + 3}$

Bước 1.1.5

Chia $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ cho $x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$54 x$

$45$

Bước 1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$

Bước 1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Bước 1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x^{3} + 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Bước 1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$

Bước 1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Bước 1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 23 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Bước 1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$23 x^{2}$	-	$69 x$

Bước 1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 23 x^{2} - 69 x$

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$

Bước 1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$

Bước 1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Bước 1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $15 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Bước 1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Bước 1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $15 x + 45$

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Bước 1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$
										$0$

Bước 1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$4 x^{2} - 23 x + 15$

Bước 1.1.6

Viết $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ và có tổng là $b = - 23$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Đưa $- 23$ ra ngoài $- 23 x$ .

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Bước 1.2.1.1.2

Viết lại $- 23$ ở dạng $- 3$ cộng $- 20$

$(x + 3) (4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15) = 0$

Bước 1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 3) (4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15) = 0$

Bước 1.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(x + 3) ((4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15) = 0$

Bước 1.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$(x + 3) (x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3)) = 0$

Bước 1.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 x - 3$ .

$(x + 3) ((4 x - 3) (x - 5)) = 0$

Bước 1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Bước 3

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 4

Đặt $4 x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $4 x - 3$ bằng với $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Bước 4.2

Giải $4 x - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 3$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 3$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 3$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Bước 5

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 5.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$ đúng.

$x = - 3, \frac{3}{4}, 5$

Bước 7