Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Bước 2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\cos^{4} (θ)$ ở dạng ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Bước 2.2

Viết lại $\sin^{4} (θ)$ ở dạng ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Bước 2.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos^{2} (θ)$ và $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Bước 2.4.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Bước 2.4.3

Nhân $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ với $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Bước 2.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (θ)$ và $b = \sin (θ)$ .

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 4.1.2

Nhân $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 4.1.2.2

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 4.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 4.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Bước 4.1.4

Nhân $\sin (θ) (- \sin (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

Bước 4.1.4.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

Bước 4.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Bước 4.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

Bước 4.2

Cộng $\cos (θ) \sin (θ)$ và $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sắp xếp lại $\cos (θ)$ và $- 1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

Bước 4.2.2

Trừ $\cos (θ) \sin (θ)$ khỏi $\cos (θ) \sin (θ)$ .

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

Bước 4.3

Cộng ${\cos (θ)}^{2}$ và $0$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Bước 6

Trừ ${\sin (θ)}^{2}$ khỏi $- {\sin (θ)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Bước 7

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ là một đẳng thức