Giải tích sơ cấp Ví dụ

$9 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 8 y = 23$

Bước 1

Hoàn thành bình phương cho $9 x^{2} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Bước 1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Bước 1.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 18$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Bước 1.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Bước 1.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Bước 1.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 9}{9}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Bước 1.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Bước 1.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Bước 1.3.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Bước 1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Nâng $- 18$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Bước 1.4.2.1.3

Chia $324$ cho $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Bước 1.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$e = 0 - 9$

Bước 1.4.2.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$e = - 9$

Bước 1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Bước 2

Thay $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ cho $9 x^{2} - 18 x$ trong phương trình $9 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 8 y = 23$

Bước 3

Di chuyển $- 9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 23 + 9$

Bước 4

Hoàn thành bình phương cho $4 y^{2} + 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Bước 4.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Bước 4.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Bước 4.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{4}{4}$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4}{4}$

Bước 4.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 4.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Bước 4.4.2.1.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Bước 4.4.2.1.3

Chia $64$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Bước 4.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Bước 4.4.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Bước 4.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Bước 5

Thay $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ cho $4 y^{2} + 8 y$ trong phương trình $9 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 23 + 9$

Bước 6

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 23 + 9 + 4$

Bước 7

Rút gọn $23 + 9 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $23$ và $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 32 + 4$

Bước 7.2

Cộng $32$ và $4$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 36$

Bước 8

Chia mỗi số hạng cho $36$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Bước 9

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$