Giải tích sơ cấp Ví dụ

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

Bước 1

Cộng $\frac{1}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} + \frac{3}{4} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

Bước 2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

Bước 2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 2.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.4.2.3

Nhân $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Bước 2.4.2.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$d = \frac{3}{8}$

Bước 2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.1.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.1.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

Bước 2.5.2.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 2.5.2.1.4

Nhân $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.4.1

Nhân $\frac{9}{16}$ với $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

Bước 2.5.2.1.4.2

Nhân $16$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{64}$

Bước 2.5.2.2

Trừ $\frac{9}{64}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{9}{64}$

Bước 2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

Bước 3

Thay ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ cho $x^{2} + \frac{3}{4} x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Bước 4

Di chuyển $- \frac{9}{64}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{9}{64}$ vào cả hai vế.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Bước 5.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Bước 5.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 5.4.2.3

Nhân $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Nhân $\frac{5}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Bước 5.4.2.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Bước 5.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2.1.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Bước 5.5.2.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 5.5.2.1.4

Nhân $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.4.1

Nhân $\frac{25}{9}$ với $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Bước 5.5.2.1.4.2

Nhân $9$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Bước 5.5.2.2

Trừ $\frac{25}{36}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Bước 5.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Bước 6

Thay ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ cho $y^{2} + \frac{5}{3} y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Bước 7

Di chuyển $- \frac{25}{36}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{25}{36}$ vào cả hai vế.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Bước 8

Rút gọn $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.3

Nhân $\frac{9}{64}$ với $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.4

Nhân $\frac{9}{64}$ với $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Bước 8.1.5

Nhân $\frac{25}{36}$ với $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

Bước 8.1.6

Nhân $\frac{25}{36}$ với $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Bước 8.1.7

Nhân $2$ với $288$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Bước 8.1.8

Sắp xếp lại các thừa số của $64 \cdot 9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Bước 8.1.9

Nhân $9$ với $64$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Bước 8.1.10

Sắp xếp lại các thừa số của $36 \cdot 16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

Bước 8.1.11

Nhân $16$ với $36$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

Bước 8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

Bước 8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $9$ với $9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

Bước 8.3.2

Nhân $25$ với $16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

Bước 8.4

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Cộng $288$ và $81$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

Bước 8.4.2

Cộng $369$ và $400$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

Bước 9

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 10

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

Bước 11

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Bước 12

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Bán kính: $\frac{\sqrt{769}}{24}$

Bước 13