Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Bước 1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Bước 2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của bất đẳng thức, ta bình phương cả hai vế của bất đẳng thức.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi vế của bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ ở dạng ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Bước 2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Bước 2.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Bước 2.2.2.1.2

Rút gọn.

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Bước 2.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 2.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 2.3.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.3.4

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - 3$

$x = 2$

Bước 2.3.5

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 3, 2$

Bước 2.4

Tìm tập xác định của $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Bước 2.4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 2.4.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 2.4.2.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.4.2.4

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - 3$

$x = 2$

Bước 2.4.2.5

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 3, 2$

Bước 2.4.2.6

Tìm tập xác định của $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 3}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 2.4.2.6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.4.2.6.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 2.4.2.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Bước 2.4.2.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 2.4.2.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Bước 2.4.2.8.1.3

Vế trái $0.375$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.4.2.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.4.2.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Bước 2.4.2.8.2.3

Vế trái $- 1.5$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 2.4.2.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.4.2.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Bước 2.4.2.8.3.3

Vế trái $3.5$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.4.2.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 2.4.2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 3$ hoặc $x > 2$

Bước 2.4.3

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 3}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 2.4.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.4.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Bước 2.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Bước 2.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 2.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Bước 2.6.1.3

Vế trái $0.61237243$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Bước 2.6.2.3

Vế trái không bằng vế phải, điều đó có nghĩa là câu đã cho là sai.

False

Bước 2.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 2.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Bước 2.6.3.3

Vế trái $1.87082869$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 2.6.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 2.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 3$ hoặc $x > 2$

Bước 3

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 4.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 4.3

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 4.4

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - 3$

$x = 2$

Bước 4.5

Hợp nhất các đáp án.

$x = - 3, 2$

Bước 4.6

Tìm tập xác định của $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 3}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 4.6.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 4.6.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 4.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Bước 4.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 4.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Bước 4.8.1.3

Vế trái $0.375$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 4.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 4.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Bước 4.8.2.3

Vế trái $- 1.5$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 4.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 4.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Bước 4.8.3.3

Vế trái $3.5$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 4.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 4.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 3$ hoặc $x > 2$

Bước 5

Đặt mẫu số trong $\frac{x + 3}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 6

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 7

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x < - 3, x > 2}$

Bước 8