Giải tích sơ cấp Ví dụ

$- 3 \sqrt{2} + 3 i \sqrt{2}$

Bước 1

Đây là dạng lượng giác của một số phức trong đó $| z |$ là mô-đun và $θ$ là góc được tạo trên mặt phẳng phức.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Bước 2

Mô-đun của một số phức là khoảng cách từ gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ trong đó $z = a + b i$

Bước 3

Thay các giá trị thực tế của $a = - 3 \sqrt{2}$ và $b = 3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4

Tìm $| z |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.2.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $9$ với $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Bước 4.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{18 + {(- 3)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 4.3.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 4.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 4.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 4.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2}$

Bước 4.4.5

Tính số mũ.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2}$

Bước 4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $9$ với $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 18}$

Bước 4.5.2

Cộng $18$ và $18$ .

$| z | = \sqrt{36}$

Bước 4.5.3

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$| z | = \sqrt{6^{2}}$

Bước 4.5.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$| z | = 6$

Bước 5

Góc của điểm trên mặt phẳng phức là nghịch đảo tang của phần phức trên phần thực.

$θ = \arctan (\frac{3 \sqrt{2}}{- 3 \sqrt{2}})$

Bước 6

Vì tang nghịch đảo của $\frac{3 \sqrt{2}}{- 3 \sqrt{2}}$ tạo ra một góc trong góc phần tư thứ hai, giá trị của góc là $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Bước 7

Thay các giá trị của $θ = \frac{3 π}{4}$ và $| z | = 6$ .

$6 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$