Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Bước 2

Trừ các phân số cho nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Bước 2.2

Để viết $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ với $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ với $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3.1.3

Nhân $- - \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3.1.3.2

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 3.4

Cộng $\cos (θ)$ và $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Bước 4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Bước 4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Bước 4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Bước 4.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 6

Viết lại $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ ở dạng $2 \cot (θ) \csc (θ)$ .

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Bước 7

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ là một đẳng thức