Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ)) = \sec (θ)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ))$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ))$

Bước 2.1.2

Viết lại $\cot (θ)$ theo sin và cosin.

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3

Nhân $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\sin (θ)$ và $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.3

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Bước 4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \cos (θ)$

Bước 4.2

Để viết $\cos (θ)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Bước 5

Viết lại $\frac{1}{\cos (θ)}$ ở dạng $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\sin (θ) (\tan (θ) + \cot (θ)) = \sec (θ)$ là một đẳng thức