Giải tích sơ cấp Ví dụ

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 1 + \cos (θ)$

Bước 1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 = \cos (θ)$

Bước 1.2

Trừ $\cos (θ)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 - \cos (θ) = 0$

Bước 2

Rút gọn $\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - 1 - \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) - 1 - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.2

Sắp xếp lại $\sin^{2} (θ)$ và $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (θ))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.6

Viết lại $- 1 (1 - \sin^{2} (θ))$ ở dạng $- (1 - \sin^{2} (θ))$ .

$- (1 - \sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \cos^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 2.8

Trừ $\cos^{2} (θ)$ khỏi $- \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

Bước 3

Đưa $- \cos (θ)$ ra ngoài $- 2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $- \cos (θ)$ ra ngoài $- 2 \cos^{2} (θ)$ .

$- \cos (θ) (2 \cos (θ)) - \cos (θ) = 0$

Bước 3.2

Đưa $- \cos (θ)$ ra ngoài $- \cos (θ)$ .

$- \cos (θ) (2 \cos (θ)) - \cos (θ) \cdot 1 = 0$

Bước 3.3

Đưa $- \cos (θ)$ ra ngoài $- \cos (θ) (2 \cos (θ)) - \cos (θ) \cdot 1$ .

$- \cos (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

Bước 5

Đặt $\cos (θ)$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cos (θ)$ bằng với $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Bước 5.2

Giải $\cos (θ) = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (0)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Bước 5.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 5.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 5.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 5.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Bước 5.2.5

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 5.2.6

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $2 \cos (θ) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $2 \cos (θ) + 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

Bước 6.2

Giải $2 \cos (θ) + 1 = 0$ để tìm $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (θ) = - 1$

Bước 6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (θ) = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (θ) = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.2.2.1.2

Chia $\cos (θ)$ cho $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Bước 6.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{1}{2})$ là $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Bước 6.2.5

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Bước 6.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 6.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Bước 6.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Bước 6.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Bước 6.2.6.3.2

Trừ $2 π$ khỏi $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Bước 6.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 6.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 6.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- \cos (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$ đúng.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$