Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(\cot (θ) + \tan (θ)) \cos (θ) = \csc (θ)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$(\cot (θ) + \tan (θ)) \cos (θ)$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\cot (θ)$ theo sin và cosin.

$(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \tan (θ)) \cos (θ)$

Bước 2.1.2

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}) \cos (θ)$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.3

Nhân $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ và $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.3.2

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.3.3

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Bước 3

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Bước 4.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sin (θ)$ .

$\frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Bước 4.2

Để viết $\sin (θ)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

$\frac{1}{\sin (θ)}$

Bước 5

Viết lại $\frac{1}{\sin (θ)}$ ở dạng $\csc (θ)$ .

$\csc (θ)$

Bước 6

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$(\cot (θ) + \tan (θ)) \cos (θ) = \csc (θ)$ là một đẳng thức